Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?

Давайте обозначим количество этажей в доме за \( x \), количество квартир на этаже за \( y \), а количество подъездов за \( z \).

У нас есть следующая информация:

1. В доме всего 114 квартир: \( x \times y \times z = 114 \).
2. Число этажей в доме больше числа квартир на этаже: \( x > y \).
3. Число квартир на этаже больше числа подъездов: \( y > z \).
4. Число подъездов больше одного: \( z > 1 \).

Мы знаем, что \( x \times y \times z = 114 \) и \( x > y \), \( y > z \), \( z > 1 \).

Найдем все комбинации чисел \( x \), \( y \), \( z \), которые удовлетворяют этим условиям и из которых можно выбрать правильный вариант.

Мы видим, что 114 представляется следующим образом:

1. \( 1 \times 1 \times 114 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
2. \( 1 \times 2 \times 57 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
3. \( 1 \times 3 \times 38 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
4. \( 1 \times 6 \times 19 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
5. \( 1 \times 19 \times 6 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
6. \( 1 \times 38 \times 3 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
7. \( 1 \times 57 \times 2 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
8. \( 1 \times 114 \times 1 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
9. \( 2 \times 1 \times 57 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.
10. \( 2 \times 2 \times 28.5 \) - не целочисленное значение.
11. \( 2 \times 3 \times 19 \)
12. \( 3 \times 1 \times 38 \)
13. \( 3 \times 2 \times 19 \)
14. \( 6 \times 1 \times 19 \)
15. \( 6 \times 2 \times 9.5 \) - не целочисленное значение.
16. \( 19 \times 1 \times 6 \)
17. \( 19 \times 2 \times 3.17 \) - не целочисленное значение.
18. \( 38 \times 1 \times 3.17 \) - не целочисленное значение.
19. \( 38 \times 2 \times 1.58 \) - не целочисленное значение.
20. \( 57 \times 1 \times 2 \)
21. \( 57 \times 2 \times 1.5 \) - не целочисленное значение.
22. \( 114 \times 1 \times 1 \) - не подходит, так как одноэтажный дом.

Итак, возможные комбинации, удовлетворяющие всем условиям, это:

• \( 2 \times 3 \times 19 \)
• \( 3 \times 2 \times 19 \)

Таким образом, имеем два варианта ответа: в доме может быть либо 2 этажа, каждый этаж содержит 3 квартиры, и всего 19 подъездов, либо 3 этажа, каждый этаж содержит 2 квартиры, и всего 19 подъездов.