Вычислите Интеграл (3^x+1)^2dx

Для вычисления интеграла \( \int (3^x+1)^2 dx \) мы можем воспользоваться формулой неразложимых степеней. Для этого воспользуемся подстановкой \( u = 3^x + 1 \) и вычислим производные:

\[ \dfrac{du}{dx} = \ln(3) \cdot 3^x, \quad dx = \dfrac{du}{\ln(3) \cdot 3^x} \]

После подстановки и замены пределов интегрирования получим:

\[ \int (3^x+1)^2 dx = \int u^2 \cdot \dfrac{du}{\ln(3) \cdot 3^x} = \dfrac{1}{\ln(3)} \int u^2 du \]

Интегрируем \( \int u^2 du \) получим:

\[ \int u^2 du = \dfrac{u^3}{3} = \dfrac{(3^x+1)^3}{3} \]

Итак, окончательно:

\[ \int (3^x+1)^2 dx = \dfrac{1}{\ln(3)} \cdot \dfrac{(3^x+1)^3}{3} + C \]

где С - постоянная интегрирования.