Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 3корень из 3, а угол плоскостью баковой грани и плоскостью основания равен 60 градусам. Найдите объем пирамиды

Для начала определим высоту пирамиды в зависимости от стороны основания \( a \) правильной шестиугольной пирамиды. Так как треугольник, образованный высотой, радиусом описанной окружности основания и стороной шестиугольника, является равносторонним, то высота равна \( a \cdot \sqrt{3} \). Подставим данную высоту \( 3\sqrt{3} \) и найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot a^2 \cdot 3\sqrt{3} = a^2\sqrt{3} \]

Теперь найдем сторону \( a \) основания. По формуле \[ a = 2R\sin{\frac{\pi}{6}} \], где \( R \) - радиус описанной окружности, т.е. поделим сторону шестиугольника (треугольника) пополам и получим \( \frac{a}{2} \), а затем рассмотрим правильный треугольник со стороной \( a \), катетом \( \frac{a}{2} \) и гипотенузой \( a \). Получаем \( a = 4 \). Теперь подставим это значение стороны \( a \) в формулу объема пирамиды:

\[ V = 4^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \]

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды составляет \( 16\sqrt{3} \).