Переходя к полярным координатам, вычеслите двойной интеграл $\iint _{D}3xdxdy$ по области D : $x^{2}+y^{2}\geqslant 2y,x^{2}+y^{2}\leqslant 4y,x\geqslant 0$

Для вычисления двойного интеграла $\iint_D 3x dxdy$ в полярных координатах нам необходимо сначала выразить область $D$ через уравнения в полярной системе координат.

Условие $x^{2}+y^{2}\geqslant 2y$ можно переписать в полярных координатах как $r^2 \geqslant 2r\sin\theta$, что эквивалентно $r \geqslant 2\sin\theta$.

Условие $x^{2}+y^{2}\leqslant 4y$ в полярных координатах станет $r^2 \leqslant 4r\sin\theta$, или $r \leqslant 4\sin\theta$.

Также, условие $x \geqslant 0$ в полярных координатах означает, что $\theta$ должно лежать в первом или четвертом квадранте, то есть $0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2$.

Теперь мы можем выразить область $D$ в полярных координатах как $2\sin\theta \leqslant r \leqslant 4\sin\theta$, при условии $0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2$.

Далее, для вычисления интеграла $\iint_D 3x dxdy$ воспользуемся формулой замены переменных в двойном интеграле для полярных координат: $dxdy = rdrd\theta$.

Таким образом, интеграл примет вид: $\int_0^{\pi/2} \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} 3r\cos\theta rdrd\theta$.

Далее остается вычислить этот интеграл, а затем развернуть результат в декартовых координатах, если необходимо.