Сторона DC прямоугольника ABCD — это высота конуса с вершиной D, DC — 2. Радиус основания этого конуса в два раза больше отрезка BC. Сфера касается плоскости прямоугольника ABCD в…

Сначала обозначим радиус основания конуса как r. Тогда по условию радиус конуса будет 2r. Также, сторона DC прямоугольника ABCD равна высоте конуса, которая равна 2.

Так как сфера касается плоскости прямоугольника ABCD в точке A, то ее радиус будет равен высоте конуса, т.е. 2.

Давайте обозначим радиус сферы как R. Теперь, у нас есть два радиуса: радиус сферы R = 2 и радиус основания конуса 2r.

Поскольку сфера имеет единственную общую точку с конусом, то считаем, что эта точка - вершина конуса D.

Треугольник DRA, где R - центр сферы, D - вершина конуса, A - точка касания сферы и плоскости, является прямым. В нем соединим точку касания с центром сферы и точкой касания с плоскостью, обозначим их как O и M соответственно.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник DMO, где DM = R+r и DO = 2. По теореме Пифагора:

(R+r)^2 = 2^2 + r^2

Раскроем скобки, получим:

R^2 + 2Rr + r^2 = 4 + r^2

Дальше, подставим R = 2:

4 + 4r + r^2 = 4 + r^2

4r = 0

r = 0

Таким образом, радиус основания конуса r = 0. А значит, радиус сферы R = 2.