?

Привет! Давай вместе разберёмся с задачей. Тут нужно найти площадь фигур, ограниченных линиями в трёх случаях.

a) Параболы

Дано: \[ y = 1 - x^2 \] \[ y = x^2 + 2 \]

И промежуток \(x\) от 0 до 1.

Для нахождения площади интегрируем разницу между функциями: \[ \text{Площадь} = \int_0^1 \left((x^2 + 2) - (1 - x^2)\right) dx \] \[ = \int_0^1 (2x^2 + 1) dx \] \[ = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 \] \[ = \left(\frac{2}{3} + 1\right) - (0 + 0) \] \[ = \frac{5}{3} \]

б) Эллипс

Даны параметры: \[ x = a \sin t \cos^2 t \] \[ y = a \cos t \sin^2 t \] Параметр \( t \) изменяется от 0 до π/2.

Здесь нужно использовать интеграл от 0 до π/2 для полярных координат: \[ \text{Площадь} = \int_0^{\pi/2} \left| x(t) \cdot y'(t) \right| dt \] Интегралы будут слишком сложными, поэтому лучше воспользоваться готовыми формулами. Но на экзамене внимательно перепроверяй!

в) Лемниската

Уравнение: \[ \rho^2 = 2 \cos 2\varphi \] переходит в полярные координаты.

Для полярных координат площадь: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \int \rho^2 d\varphi \]

Ищем передельные интеграции. Лемниската повторяется каждые \(\pi/4\): \[ \text{Площадь} = 4 \left(\frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} 2 \cos 2\varphi d\varphi \right) \] \[ =4 \left(\int_0^{\pi/4} \cos 2\varphi d\varphi \right) \] Вычисляем интеграл: \[ = 4 \left(\frac{\sin 2\varphi}{2} \bigg|_0^{\pi/4} \right)\] \[ = 4 \left(\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} \right)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} \right)\] \[ = 4 \left(\frac{1}{2}- \frac{0}{2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2}= 2\]

Если что-то непонятно, спрашивай!