Сумма дроби, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, с его обратным числом, равна 89/40 Найдите модуль разности числителя и знаменателя.

Для решения этой задачи мы можем обозначить исходную дробь как \( \frac{a}{b} \), где \( a \) и \( b \) являются взаимно простыми числами. Тогда её обратное число будет \( \frac{b}{a} \).

Согласно условию задачи, сумма исходной дроби и её обратного числа равна \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{89}{40} \).

Допустим, что разность числителя и знаменателя исходной дроби равна \( x = |a - b| \).

Тогда по формуле для суммы квадратов двух чисел: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Мы видим, что \( (a + b)^2 = \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^2 = \left( \frac{a^2 + b^2}{ab} \right)^2 = \left( \frac{89}{40} \right)^2 \).

Решим это уравнение и найдем значение \( x \), которое представляет модуль разности числителя и знаменателя.