N

Привет! Давай разберем предоставленные вопросы.

Вопрос 9:

У нас есть формула Ньютона-Лейбница и несколько вариантов. Нам нужно выбрать правильную формулу.

Формула Ньютона-Лейбница для интегралов выглядит примерно так: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

Где \( F(x) \) — это первообразная функция для \( f(x) \). Если применить лимиты, то полный формат выглядит так:

Попробуем выбрать правильный ответ. Смотрим на варианты:

1. \( \int_{a}^{b} f'x \, dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} - F(b) + F(a) \)
2. \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} \)
3. \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} - F(a) = F(b) - F(a) \)
4. \( \int_{a}^{b} f'(x) dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} - F(b) + F(a) \)

Правильный ответ - средний (3-й), так как это соответствует общепринятой форме формулы, где результат вычисления \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \).

Вопрос 10:

Нужно указать правильную замену для вычисления определенного интеграла. Интеграл:

\[ \int_{0}^{1} (2 - x^{2})^{3} dx \]

Для интегралов такого типа удобно использовать замену переменных. Давай посмотрим на варианты:

1. \( u = x^{2} - 2, \quad du = 2x dx \)
2. \( u = 2 - x^{2}, \quad du = -2x dx \)
3. \( u = (2 - x)^{2}, \quad du = -2(2-x) dx \)
4. \( u = x^{3} - 1, \quad du = 3x^2 dx \)

При интеграции сложных выражений, таких как полиномы, полезно использовать замену, которая упростит выражение. Второй вариант (u = 2 - x^2) работает, так как производная \( u \) равна \( -2x \), и это упростит интеграл.

Ответ: 2. \( u = 2 - x^{2}, \quad du = -2x dx \)

Вот такие ответы на эти вопросы. Надеюсь, всё стало понятно! Если есть ещё вопросы, обращайся 😊.