3x²-10x+3/x²-10x+25>0

Для того чтобы решить неравенство \( \frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 10x + 25} > 0 \), нужно сначала найти точки разрыва функции. Для этого решим уравнение в знаменателе \( x^2 - 10x + 25 = 0 \), чтобы найти значения, при которых знаменатель равен нулю.

\( x^2 - 10x + 25 = 0 \) можно переписать в виде \( (x - 5)^2 = 0 \). Отсюда получаем, что у уравнения есть один корень \( x = 5 \).

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Мы знаем, что функция имеет разрыв при \( x = 5 \). Проверим значения функции на интервалах:

1. \( x < 5 \),
2. \( x > 5 \).

Возьмем тестовую точку слева от 5, например, x = 0:

\[ \frac{3 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 + 3}{0^2 - 10 \cdot 0 + 25} = \frac{3}{25} > 0 \].

Таким образом, для \( x < 5 \) неравенство выполняется.

Возьмем тестовую точку справа от 5, например, x = 6:

\[ \frac{3 \cdot 6^2 - 10 \cdot 6 + 3}{6^2 - 10 \cdot 6 + 25} = \frac{99}{11} > 0 \].

Таким образом, для \( x > 5 \) неравенство также выполняется.

Итак, неравенство \( \frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 10x + 25} > 0 \) верно для всех \( x < 5 \) и \( x > 5 \).