Найдите интеграл ∫ ех (1 + е−х х2 ) 𝑑𝑥 1. ех − 1 2 + С 2. −ех − 1 х + С 3. ех + 1 х + С 4. ех − 1 х + С

Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям:

∫ e^x(1 + e^(-x) / x^2) dx

Проведем интегрирование по частям, выбрав u = e^x и dv = (1 + e^(-x) / x^2) dx.

Тогда du = e^x dx, а v = ∫(1 + e^(-x) / x^2) dx.

Найдем v: v = ∫(1 + e^(-x) / x^2) dx = ∫dx + ∫e^(-x) / x^2 dx

        = x - ∫e^(-x) / x^2 dx
        = x - (-e^(-x) / x + ∫e^(-x) / x dx)
        = x + e^(-x) / x - ∫e^(-x) / x dx

Получаем: v = x + e^(-x) / x - ∫e^(-x) / x dx

Теперь подставляем значения u, dv, du и v в формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du ∫ e^x(1 + e^(-x) / x^2) dx = e^x * (x + e^(-x) / x) - ∫ (x + e^(-x) / x)(e^x) dx

Раскроем скобки и упростим выражение:

= e^x * (x + e^(-x) / x) - ∫ x * e^x dx - ∫ e^(-x) dx = e^x * (x + e^(-x) / x) - x * e^x - (-e^(-x)) + C

= e^x * x + e^(-x) - x * e^x + e^(-x) + C = e^x * x + e^(-x) + e^(-x) + C

Таким образом, интеграл ∫ e^x(1 + e^(-x) / x^2) dx равен e^x * x + 2 * e^(-x) + C.

Ответ: ех - х + 2е^(-х) + C.