Найдите интеграл ∫ ех (1 + е−х х2 ) 𝑑𝑥 1. ех − 1 2 + С 2. −ех − 1 х + С 3. ех + 1 х + С 4. ех − 1 х + С

Для начала решим данное определенный интеграл:

∫ e^x (1 + e^(-x) / x^2) dx

Разложим выражение под интегралом:

= ∫ e^x dx + ∫ e^(-x) / x^2 dx = e^x - ∫ e^(-x) / x^2 dx

Теперь проинтегрируем второе слагаемое по частям. Для этого выберем u = 1/x^2 и dv = e^(-x) dx, тогда du = -2/x^3 dx и v = -e^(-x).

Интегрируя по частям, получаем:

= e^x - (-e^(-x) / x^2 - ∫ 2e^(-x) / x^3 dx) = e^x + e^(-x) / x^2 - 2∫ e^(-x) / x^3 dx

Снова применяем метод частей для второго интеграла ∫ e^(-x) / x^3 dx. Здесь u = 1/x^3, dv = e^(-x) dx, du = -3/x^4 dx, v = -e^(-x).

Подставив это в интеграл и проинтегрировав, имеем:

= e^x + e^(-x) / x^2 + 2(e^(-x) / x^3 + 3∫ e^(-x) / x^4 dx) = e^x + e^(-x) / x^2 + 2(e^(-x) / x^3 - 3/2∫ e^(-x) / x^4 dx)

Продолжая бесконечные итерации интегрирования по частям и подстановок получаем:

= e^x + e^(-x) / x^2 + 2(e^(-x) / x^3 - 3/2(e^(-x) / x^4 + 4/3∫ e^(-x) / x^5 dx)) = e^x + e^(-x) / x^2 + 2(e^(-x) / x^3 - 3/2(e^(-x) / x^4 + 4/3(-e^(-x) / x^5 + 5/4∫ e^(-x) / x^6 dx))) и так далее.

Итак, интеграл ∫ e^x (1 + e^(-x) / x^2) dx = e^x + e^(-x) / x^2 + 2!∫ e^(-x) / x^3 dx - 3!∫ e^(-x) / x^4 dx + ... + (-1)^n * n!∫ e^(-x) / x^(n+1) dx + C.

Это решение является общим и выраженным через факториалы, требуется дальнейшее разложение по частям для более конкретного ответа.