Найдите интеграл методом подстановки ∫е х 2 √16−ех 𝑑𝑥 1. 1 16 ln |𝑡 − 4| + 1 16 ln |𝑡 + 4| + С 2. − 1 16 ln |𝑡 − 4| − 1 16 ln |𝑡 + 4| + С 3. − 1 16 ln |𝑡 − 4| + 1 16 ln |𝑡 + 4| + С 4. − 1 16 ln |𝑡 − 4| − 1 16 ln |𝑡 + 4| + С

Для решения данного интеграла методом подстановки, сделаем замену \(u = \sqrt{16 - e^x}\).

Тогда: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 - e^x}} \cdot (-e^x) = -\frac{1}{2\sqrt{16 - e^x} \cdot e^x} = -\frac{1}{2u \cdot e^x} \]

\[du = -\frac{1}{2u \cdot e^x} dx \Rightarrow dx = -2u \cdot e^x du\]

Подставим это в интеграл: \[ \int e^x 2u \cdot e^x \cdot du = 2 \int u \cdot e^{2x} du \]

Теперь для нахождения данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям: \[ \int u \cdot e^{2x} du = \frac{u}{2} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} du \]

\[ = \frac{u}{2} \cdot e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \]

Теперь подставляем обратно \(u = \sqrt{16 - e^x}\): \[ = \frac{\sqrt{16 - e^x}}{2} \cdot e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \]

Таким образом, искомый интеграл равен: \[ 2 \left( \frac{\sqrt{16 - e^x}}{2} \cdot e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \right) + C \]

Упрощая это выражение, получаем: \[ \sqrt{16 - e^x} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} e^{2x} + C \]

Ответ: 1. \(\sqrt{16 - e^x} \cdot e^{2x} - \frac{1}{2} e^{2x} + C\)