Проинтегрируйте рациональную функцию ∫ 𝑑𝑥 х2−6х+18 1. 1 3 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 х−3 3 + С 2. 1 3 𝑡𝑔 х−3 3 + С 3. 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 х−3 2 + С 4. 1 4 𝑡𝑔 х−3 4 + С

Для интегрирования данной рациональной функции сначала нужно разложить её на простейшие дроби. Так как знаменатель х2−6х+18 = (х−3)2 + 9 не имеет действительных корней, мы можем записать разложение на простейшие дроби в следующем виде:

∫ 𝑑𝑥 х2−6х+18 = ∫ 𝑑𝑥 (Ax + B)/(x^2 - 6x + 18),

где Ax + B - числовые коэффициенты, которые нужно найти.

Умножим обе части на (x^2 - 6x + 18):

Ax + B = 1

Теперь найдем A и B:

1 = (Ax + B) / (x^2 - 6x + 18) = (Ax + B) / ((x-3)^2 + 9)

Подставим x = 3:

1 = (3A + B) / 9 9 = 3A + B

Подставим x = 0:

1 = B / 9 B = 9

Таким образом, получаем B = 9 и A = 0. Теперь можем проинтегрировать:

∫ 𝑑𝑥 х2−6х+18 = ∫(x + 9)/(x^2 - 6x + 18)dx = ∫(9/(x^2 - 6x + 18))dx = 9 ∫dx/(x^2 - 6x + 18)

Выразим интеграл через арктангенс:

9 ∫dx/(x^2 - 6x + 18) = 9 ∫dx/( (x-3)^2 + 9) = 3arctg((x-3)/3) + C

Итак, интегрированная рациональная функция равна:

3arctg((x-3)/3) + C.

Поэтому правильный ответ 1. 1/3arctg(x−3) + C.