Вычислите определенный интеграл ∫ sin х √𝑐𝑜𝑠2х 3 𝑑𝑥 𝜋 2 0 1. 3 2. 𝜋 2 3. -1 4. - 𝜋 2

Для вычисления данного определенного интеграла, мы должны сначала выразить √𝑐𝑜𝑠2х через тригонометрические функции.

Используем формулу тригонометрических тождеств: \[\cos^2x = 1 - \sin^2x\]

Тогда получим: \[\sqrt{\cos^2x} = \sqrt{1 - \sin^2x} = \sqrt{1 - \sin^2x} = \sqrt{\cos^2x}\]

Теперь подставим это обратно в наш интеграл: \[\int \sin x \sqrt{\cos^2x} \,dx = \int \sin x \cos x \, dx\]

Интегрируем по частям: \[u = \sin x, \quad dv = \cos x \, dx\] \[du = \cos x \, dx, \quad v = \sin x\]

\[= \sin x \sin x - \int \cos x \cos x \, dx\]

\[= \sin^2 x - \int \cos^2 x \, dx\]

Используем формулу: \[\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(\sin x \cos x + x) + C\]

Теперь подставляем наши результаты обратно: \[= \sin^2 x - \left[\frac{1}{2}(\sin x \cos x + x)\right] + C\]

Теперь вычислим определенный интеграл от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\): \[= \left[\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right] - \left[\sin^2(0) - \frac{1}{2}(\sin(0)\cos(0) + 0)\right]\]

\[= \left[1 - 0\right] - \left[0 - 0\right] = 1\]

Итак, ответ нашего определенного интеграла равен 1.