Найдите общее решение дифференциального уравнения 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − (1 + 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 1. 𝑦 = 𝐶 cos 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 2. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 3. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 + 1, 𝑦 = −1 4. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = 1

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Мы можем найти его общее решение, используя метод разделения переменных.

Уравнение можно переписать в виде:

\(ty \,dx - (1+y) \,dy = 0\)

Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

\(\int t \,dx = \int (1+y) \,dy\)

\(t \int dx = \int (1+y) \,dy\)

\(t x = y + \frac{y^2}{2} + C\)

где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

\(y = tx - \frac{t^2}{2} - C\)

С учетом данных начальных условий:

1. \(y = C \cos x - 1\), \(y = -1\)

Подставляем в общее решение:

\(-1 = C \cos x - 1\)

\(C \cos x = 0\)

\(C = 0\)

Поэтому общее решение для данных начальных условий:

\(y = - \frac{t^2}{2}\)

Ответ: нет подходящего варианта в заданных вариантах.