Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), тангенс угла наклона которой во всякой точке равен 1 3у2 1. х = у3 - 2 2. х = у2 – 8 3. х = 3у3 + 8 4. х = у3 - 8

Для нахождения уравнения кривой, проходящей через точку (0; 2), тангенс угла наклона которой в каждой точке равен \( \frac{1}{3y^2} \), решим задачу.

У нас дано, что тангенс угла наклона этой кривой равен производной функции \( y(x) \) — \( \frac{dy}{dx} \), то есть \( \frac{1}{3y^2} \).

Найдем интегралы от двух сторон уравнения:

\[ \int dx = \int \frac{1}{3y^2} dy \]

\[ x = - \frac{1}{3y} + C \]

Так как дано, что кривая проходит через точку (0; 2), подставим данную точку в уравнение и найдем константу С:

\[ 0 = - \frac{1}{3 \cdot 2} + C \]

\[ C = \frac{1}{6} \]

Таким образом, уравнение кривой будет:

\[ x = -\frac{1}{3y} + \frac{1}{6} \]

Выразим y через x:

\[ 6x = -2y + 1 \]

\[ 2y = -6x + 1 \]

\[ y = -3x + \frac{1}{2} \]

Ответ: \( y = -3x + \frac{1}{2} \)