Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), тангенс угла наклона которой во всякой точке равен 1 3у2 1. х = у3 - 2 2. х = у2 – 8 3. х = 3у3 + 8 4. х = у3 - 8

Для нахождения уравнения кривой, проходящей через точку (0; 2) и у которой тангенс угла наклона в любой точке равен 1/3y^2, начнем с заметки, что тангенс угла наклона касательной в точке (x, y) равен производной y'(x) этой функции y(x) в этой точке.

Из условия мы имеем, что функция должна проходить через точку (0,2), следовательно, y(0) = 2.

Теперь, мы имеем уравнение для тангенса угла наклона: tan(angle) = 1/3y^2.

Проинтегрируем это уравнение для того, чтобы найти функцию y(x) и затем выразим ее в виде уравнения:

∫(1/3y^2)dy = ∫dx

1/3 * (y^3)/3 = x + C

y^3/9 = x + C

y^3 = 9x + 9C

Теперь, используя начальное условие y(0) = 2, мы найдем константу С:

2^3 = 9*0 + 9C

8 = 9C

C = 8/9

Итак, у нас есть уравнение y^3 = 9x + 8. Подставляя это уравнение в y(x), мы можем получить итоговое уравнение кривой:

(y^3)^{1/3} = (9x + 8)^{1/3}

y = (9x + 8)^{1/3}

Итак, уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2) и у которой тангенс угла наклона равен 1/3y^2 в любой точке, имеет вид: х = (9y + 8)^{1/3}.