Найдите общее решение дифференциального уравнения 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − (1 + 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 1. 𝑦 = 𝐶 cos 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 2. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 3. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 + 1, 𝑦 = −1 4. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = 1

Исходное дифференциальное уравнение дано в виде:

tg(x) dx - (1 + y) dy = 0

Решение данного уравнения можно найти, рассматривая его как уравнение в полных дифференциалах. Для этого проверим, существует ли такая функция F(x, y), что:

dF = tg(x) dx - (1 + y) dy

Найдем частные производные F по x и по y:

∂F/∂x = tg(x) ∂F/∂y = -(1 + y)

Из уравнения dF = tg(x) dx - (1 + y) dy следует, что:

∂F/∂x = tg(x) ∂F/∂y = -(1 + y)

Интегрируем первое выражение по x:

F = ∫tg(x) dx = -ln|cos(x)| + C1(y)

где C1(y) - произвольная функция от y. Теперь подставим F второе выражение и проинтегрируем его по y:

• ln|cos(x)| + C1(y) = -ln|cos(x)| - y - y^2/2 + C2(x)

где C2(x) - произвольная функция от x.

Итак, общее решение дифференциального уравнения tg(x) dx - (1 + y) dy = 0 имеет вид:

ln|cos(x)| - y - y^2/2 = C

где C - произвольная постоянная. Это общее решение дифференциального уравнения.