Найдите общее решение дифференциального уравнения 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − (1 + 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 1. 𝑦 = 𝐶 cos 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 2. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = −1 3. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 + 1, 𝑦 = −1 4. 𝑦 = 𝐶 sin 𝑥 − 1, 𝑦 = 1
Для решения данного дифференциального уравнения сразу видим, что это уравнение не является линейным и неоднородным. Также, заметим, что мы можем попытаться использовать метод вариации постоянной для его решения.
Данное уравнение можно переписать в виде:
\[t \frac{dx}{dy} = 1 + y\]
Теперь попробуем применить метод вариации постоянной для поиска общего решения уравнения. Пусть \(y_p = C(x)y_1(x) = C(x)sin(x)\), где \(y_1(x)\) - частное решение неоднородного уравнения, а \(C(x)\) - функция, которую мы должны найти. Тогда:
\[t\frac{d}{dx}(C(x)sin(x)) = 1 + C(x)sin(x)\]
\[tC'(x)sin(x) + tC(x)cos(x) = 1 + C(x)sin(x)\]
Отсюда получаем:
\[tC'(x)sin(x) + tC(x)cos(x) = 1\]
Теперь нужно найти такую функцию \(C(x)\), чтобы выполнилось предыдущее уравнение. Рассмотрим каждый из вариантов из ответов:
- \(y = Ccos(x) - 1\), \(y = -1\)
Подставляем данное выражение и \(y_p\) в уравнение и видим, что данная функция \(C(x)\) не является решением уравнения.
- \(y = Csin(x) - 1\), \(y = -1\)
Аналогично, подставляем и видим, что для данной функции \(C(x)\) уравнение не выполняется.
- \(y = Csin(x) + 1\), \(y = -1\)
Также видим, что данное уравнение не выполняется.
- \(y = Csin(x) - 1\), \(y = 1\)
Подставляя и выполняя вычисления, получаем:
\[tC'(x)sin(x) + tC(x)cos(x) = 1\]
\[tC'(x)sin(x) + tC(x)cos(x) = 1\]
\[tC'(x)sin(x) = 1\]
\[C'(x)sin(x) = \frac{1}{t}\]
\[C(x) = -\frac{cos(x)}{t} + A\]
Таким образом, минуя те варианты, для данного дифференциального уравнения общее решение представляется в виде:
\[y = -\frac{cos(x)}{t} + A\]
