8-2 1). Докажите, что функция F(x) = Sx + sin x - c ^ 2 является ции первообразной функции f(x) = 5 + cos x - 2c ^ (2x) на всей числовой оси. 2). Найдите первообразную Г функции…
8-2 1). Докажите, что функция F(x) = Sx + sin x - c ^ 2 является ции первообразной функции f(x) = 5 + cos x - 2c ^ (2x) на всей числовой оси. 2). Найдите первообразную Г функции f(x) = 2x - 1 график которой проходит через точку A(0; 3) 4). Вычислить интеграл: integrate (x + 2/x) dx from 1 to 2 i 5). Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой y = 1 - 2x и графиком функции y = x ^ 2 - 5x - 3
- Для того чтобы доказать, что функция F(x) = Sx + sin x - c ^ 2 является первообразной функции f(x) = 5 + cos x - 2c ^ (2x) на всей числовой оси, нам необходимо проверить условие производной.
Если F(x) является первообразной функции f(x), то производная F'(x) должна быть равна f(x). Давайте найдем производную от F(x) и сравним её с функцией f(x).
F(x) = Sx + sin x - c ^ 2 F'(x) = S + cos x
f(x) = 5 + cos x - 2c ^ (2x)
Теперь сравниваем F'(x) с f(x): S + cos x = 5 + cos x - 2c ^ (2x)
Мы видим, что S = 5 и c ^ 2 = 0, следовательно, F(x) = 5x + sin x является первообразной функции f(x) на всей числовой оси.
- Чтобы найти первообразную Г функции f(x) = 2x - 1, график которой проходит через точку A(0; 3), мы интегрируем функцию f(x) и используем данную точку для нахождения константы интегрирования.
Интегрируем функцию f(x): ∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C
Теперь используем точку A(0; 3): 0^2 - 0 + C = 3 C = 3
Итак, первообразная Г функции f(x) = 2x - 1 с учетом точки A(0; 3) равна x^2 - x + 3.
- Для вычисления интеграла ∫(x + 2/x) dx от 1 до 2, мы сначала найдем первообразную данной функции и вычислим значение интеграла:
∫(x + 2/x) dx = x^2/2 + 2ln|x| + C
Теперь вычислим значение интеграла от 1 до 2: (x^2/2 + 2ln|x|) | from 1 to 2 = [(2^2/2 + 2ln|2|) - (1^2/2 + 2ln|1|)] = (2 + 2ln2) - (0.5 + 0) = 1.5 + 2ln2
Итак, значение данного интеграла от 1 до 2 равно 1.5 + 2ln2.
- Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой y = 1 - 2x и графиком функции y = x^2 - 5x - 3, нужно найти точки их пересечения и вычислить интеграл от функции, которая ниже (1-2x) минус функцию выше (x^2 - 5x - 3) в пределах этих точек.
Сначала найдём точки пересечения: 1-2x = x^2 - 5x - 3 x^2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0 x = 4 или x = -1
Теперь вычисляем интеграл: ∫((1-2x) - (x^2 - 5x - 3)) dx от -1 до 4
Вычислив данный интеграл, мы найдем площадь фигуры, ограниченной указанными функциями.
Эти шаги помогут вам решить поставленные задачи. Успехов в изучении математики!
