Верно ли, что функция f(x) = 2x3 - 3x2 + 6x +1 убывает на всей числовой прямой?

Чтобы определить, убывает ли функция \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 1 \) на всей числовой прямой, нужно проанализировать ее производную.

Вычислим производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 - 6x + 6 \]

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: \[ 6x^2 - 6x + 6 = 0 \] \[ x^2 - x + 1 = 0 \]

Дискриминант этого уравнения \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \), что означает, что уравнение не имеет реальных корней. Следовательно, у функции нет точек экстремума.

Исследуем знак производной в окрестностях точек:

1. При \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \), что означает, что функция возрастает на этом интервале.
2. При \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \), что также говорит о возрастании функции на этом интервале.

Исходя из этого, функция \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 1 \) неубывает на всей числовой прямой, а отрицательно неубывает на всей числовой прямой.