Верно ли, что функция f(x) = 2x3 - 3x2 + 6x +1 убывает на всей числовой прямой?

Для определения монотонности функции f(x) необходимо вычислить её производную и проанализировать знак производной.

Производная функции f(x) равна f'(x) = 6x^2 - 6x + 6.

Для исследования знака производной найдем точки, в которых f'(x) = 0:

6x^2 - 6x + 6 = 0 x^2 - x + 1 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен D = (-1)^2 - 411 = 1 - 4 = -3, что меньше нуля. Значит, уравнение не имеет рациональных корней, и производная f'(x) не обращается в нуль ни в какой точке.

Таким образом, производная f'(x) всегда положительна для любого x, что означает, что функция f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 1 является убывающей на всей числовой прямой.