Доведіть, що вираз x^2+4x+20 набуває лише додатних значень.

Для того, щоб показати, що вираз \( x^2 + 4x + 20 \) набуває лише додатних значень для будь-якого значення \( x \), ми можемо скористатися фактом, що квадратне доповнення \( x^2 + 4x + 4 \) є завжди додатнім (оскільки це можна переписати як \( (x + 2)^2 \), а квадрат будь-якого числа є додатнім).

Тепер можемо переписати вираз \( x^2 + 4x + 20 \) як:

\( x^2 + 4x + 20 = x^2 + 4x + 4 + 16 = (x + 2)^2 + 16 \)

Оскільки квадрат дорівнює або перевищує нуль для всіх \( x \), а число 16 є завжди додатнім, то вираз \( x^2 + 4x + 20 \) буде завжди більшим за 16, і, отже, набуватиме лише додатніх значень для усіх значень \( x \).