log5^2 x -log5x =2 реши уравнение

Для решения уравнения \( \log_{5}^2 x - \log_{5} x = 2 \), воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала преобразуем левую часть уравнения:

\[ \log_{5}^2 x - \log_{5} x = \log_{5} x \cdot \log_{5} x - \log_{5} x = (\log_{5} x)^2 - \log_{5} x \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( \log_{5} x \):

\[ (\log_{5} x)^2 - \log_{5} x - 2 = 0 \]

Проведем замену: обозначим \( \log_{5} x \) за \( t \). Уравнение теперь примет вид:

\[ t^2 - t - 2 = 0 \]

Данное уравнение является квадратным уравнением, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации:

\[ (t - 2)(t + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных решения: \( t = 2 \) или \( t = -1 \). Теперь вернемся к подстановке обратно:

Если \( t = 2 \), то:

\[ \log_{5} x = 2 \]

\[ x = 5^2 = 25 \]

Если \( t = -1 \), то:

\[ \log_{5} x = -1 \]

\[ 5^{-1} = x \]

\[ x = \frac{1}{5} \]

Таким образом, решения уравнения \( \log_{5}^2 x - \log_{5} x = 2 \) равны \( x = 25 \) и \( x = \frac{1}{5} \).