5. В треугольнике АВС С 90 проведена медиана СМ и высота СН, которая разбила гипотенузу АВ на отрезки АН - 9 см, ВН-16 см. Найдите длину медианы СМ и высоты СН.

В треугольнике ABC, для начала построим выпуклый четырёхугольник AHNB, где H — точка пересечения медианы СМ и высоты СН, и также известно, что AH = 9 см и BH = 16 см. Поскольку медиана делит сторону пополам, то находим, что AM = MC = 8 см (половина стороны AB). Также, по свойству медианы, мы имеем, что HM = 1/2 * CN.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AMC, где AC — гипотенуза, AM — катет, и MC — медиана, находим длину гипотенузы AC: AC^2 = AM^2 + MC^2 AC^2 = 8^2 + 8^2 AC^2 = 64 + 64 AC^2 = 128 AC = √128 = 8√2 см

Теперь можем приступить к нахождению длины медианы CM. Поскольку медиана делит сторону пополам, то длина медианы CM будет равна половине длины гипотенузы AC: CM = 1/2 * AC = 4√2 см.

Далее, посмотрим на треугольник АСН, где CN — высота. Из условия задачи известно, что AN = 9 см и BN = 16 см. Также, снова используем теорему Пифагора для треугольника АСН: CN^2 = AN^2 + (AC - BN)^2 CN^2 = 9^2 + (8√2 - 16)^2 CN^2 = 81 + (8√2 - 16)^2 CN^2 = 81 + (8√2 - 16) * (8√2 - 16) CN^2 = 81 + 64*2 - 256√2 + 256 CN^2 = 145 + 512 - 256√2 CN^2 = 657 - 256√2 CN = √(657 - 256√2) см

Таким образом, длина медианы СМ составляет 4√2 см, а длина высоты СН равна √(657 - 256√2) см.