Решить

Привет! Давай вместе разберёмся с этой задачей.

Итак, нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, которую ограничивают линии \( y = 2x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), и \( x = 3 \).

Шаг 1: Определим границы интегрирования. Линии \( x = 0 \) и \( x = 3 \) дают нам границы отрезка по оси \( x \).

Шаг 2: Интегрируем функцию \( 2x^2 \) от 0 до 3. Площадь под кривой вычисляется с помощью определённого интеграла.

Шаг 3: Взяв интеграл функции \( 2x^2 \) от 0 до 3: \[ \int_{0}^{3} 2x^2 \, dx \]

Шаг 4: Найдём первообразную для \( 2x^2 \), которая будет \( \frac{2x^3}{3} \).

Шаг 5: Подставим границы интегрирования в первообразную: \[ \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{2 \cdot 3^3}{3} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} \]

Шаг 6: Посчитаем значение: \[ \frac{2 \cdot 27}{3} - 0 = 18 \]

Значит, площадь криволинейной трапеции равна 18.