По уравнениям x=10t y= 20t^2 движение точки М требуется установить вид траектории и для начального момента времени t=1с найти положение точки на траектории, её скорость, полное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории

Уравнения x=10t и y=20t^2 описывают движение точки М. Для определения вида траектории, начнем с анализа параметрически заданных координат x и y. В данном случае, x зависит линейно от времени t, а y - квадратично. Таким образом, движение точки М будет криволинейным.

Для нахождения положения точки на траектории в начальный момент времени t=1с, подставим t=1 в уравнения x=10t и y=20t^2. Получаем x=10 и y=20.

Следующим шагом будет определение скорости точки М. Для этого найдем производные x и y по времени t и выразим скорость как вектор скорости V = (dx/dt, dy/dt). Продифференцируем уравнения x=10t и y=20t^2:

dx/dt = 10; dy/dt = 40t.

Таким образом, скорость точки М в момент времени t=1с будет равна V = (10, 40).

Далее рассмотрим полное и нормальное ускорения точки М. Полное ускорение a можно выразить как производную вектора скорости по времени: a = dV/dt = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2). Дифференцируем скорость по времени:

d^2x/dt^2 = 0; d^2y/dt^2 = 40.

Таким образом, полное ускорение точки М в момент времени t=1с будет равно a = (0, 40).

Нормальное ускорение An можно найти как проекцию вектора ускорения на нормаль к траектории. В данном случае, An = |a| = 40 (поскольку анорм = a).

Наконец, рассмотрим радиус кривизны траектории. Радиус кривизны R можно определить как R = |V|^3 / An. Подставляем значения скорости и нормального ускорения:

R = (sqrt(10^2 + 40^2))^3 / 40 = 500 / 40 = 12.5.

Таким образом, траектория точки М - криволинейная, положение на траектории в момент времени t=1с: x=10, y=20, скорость V=(10, 40), полное ускорение a=(0, 40), нормальное ускорение An=40, радиус кривизны R=12.5.