21. Кут між медіаною й бісектрисою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює у, а гіпотенуза дорівнює с. Знайдіть катети трикутника.

Для вирішення цієї задачі нам спочатку потрібно з'ясувати взаємозв'язок між кутами трикутника та його сторонами. У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу навпіл, утворюючи два трикутники, кожний з яких є подібним до початкового трикутника.

Також, бісектриса, проведена з вершини прямого кута, ділить кут напівнавпіл. За теоремою про спільний катет у подібних трикутниках, ми можемо знайти взаємозв'язок між сторонами та кутами у подібних трикутниках.

Запишемо відомі дані: кут між медіаною та бісектрисою дорівнює у, гіпотенуза дорівнює с. Ми хочемо знайти довжини катетів трикутника.

Якщо ми позначимо катети трикутника як a та b, то за властивостями подібних трикутників ми можемо скласти наступні рівності:

a / b = u / (c / 2 - a) (1)

(с / 2 - b) / a = u / b (2)

З цих рівнянь ми можемо знайти значення катетів трикутника.