• Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции f(x) = 2x - x2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции \(f(x) = 2x - x^2\), сначала найдем точки их пересечения.

Уравнение графика \(f(x) = 2x - x^2\) пересекает ось абсцисс в точках, где \(f(x) = 0\).

Таким образом, решаем уравнение \(2x - x^2 = 0\):

\(2x - x^2 = 0\)
\(x(2 - x) = 0\)

Отсюда получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Таким образом, наша фигура ограничена осью абсцисс и графиком функции \(f(x) = 2x - x^2\) между точками пересечения \(x = 0\) и \(x = 2\).

Чтобы найти площадь этой фигуры, вычисляем определенный интеграл функции \(f(x)\) от \(x = 0\) до \(x = 2\):

\[ \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 \] \[ = [2^2 - \frac{2^3}{3}] - [0 - \frac{0}{3}] \] \[ = [4 - \frac{8}{3}] \] \[ = \frac{8}{3} \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции \(f(x) = 2x - x^2\), равна \(\frac{8}{3}\) или приблизительно 2.67ед. площади.