Докажите что пятая степень натурального числа и само это число оканчиваются одинаковыми цифрами

Для доказательства данного утверждения рассмотрим натуральное число в виде \( n = 10k + d \), где \( k \) - некоторое целое число, а \( d \) - последняя цифра числа \( n \).

Теперь возведем это число в пятую степень:

\[ n^5 = (10k + d)^5 \]

Используя бином Ньютона для раскрытия скобок, получим:

\[ n^5 = 10^5k^5 + 5 \cdot 10^4 kd^4 + 10 \cdot 10^3k^3d^2 + 10^2k^2d^3 + kd^5 \]

Заметим, что все слагаемые в этом выражении содержат множитель 10, а значит, все числа будут оканчиваться на последнюю цифру \( d \). Следовательно, пятая степень натурального числа и само это число будут оканчиваться одинаковыми цифрами, что и требовалось доказать.