Окружность с центор на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В.Найдите АС,если косинус угла АОВ=21:29,а АВ=8

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться определением косинуса угла в правильном треугольнике и свойствами касательной к окружности.

Поскольку окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\), то будем рассматривать правильный треугольник \(AOV\), где \(O\) - центр окружности, а \(V\) - точка касания.

Для правильного треугольника \(AOV\) верно, что косинус угла \(AOV\) равен отношению катета к гипотенузе. Таким образом, мы имеем: \[ \cos(AOV) = \frac{AO}{OV} = \frac{21}{29} \]

Поскольку радиус окружности является отрезком, касающимся прямой \(AB\) в точке \(B\), он перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, треугольник \(ABV\) является прямоугольным.

Из теоремы Пифагора для треугольника \(ABV\) получаем: \[ AV^2 = AB^2 + BV^2 = AB^2 + AO^2 \]

Теперь мы можем найти значение \(AV\): \[ AV = \sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{8^2 + 29^2} = \sqrt{64 + 841} = \sqrt{905} \]

Таким образом, длина стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) равна длине гипотенузы в треугольнике \(AOV\), то есть \(AC = \sqrt{905}\).