4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = x в кубе +3x в квадрате - 45x - 2 на отрезке [0; 2]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 \) на отрезке [0; 2] нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем значения функции на концах отрезка:

• Для x = 0: \( f(0) = 0^3 + 3*0^2 - 45*0 - 2 = -2 \)
• Для x = 2: \( f(2) = 2^3 + 3*2^2 - 45*2 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = -72 \)

2. Теперь необходимо найти критические точки функции. Для этого найдем производную функции:

• \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 45 \)

3. Найдем корни уравнения \( f'(x) = 0 \) чтобы определить критические точки:

• \( 3x^2 + 6x - 45 = 0 \)
• \( x^2 + 2x - 15 = 0 \)
• Решив это уравнение, получим x = 3 и x = -5.

4. Теперь найдем значения функции в критических точках:

• Для x = 3: \( f(3) = 3^3 + 3*3^2 - 45*3 - 2 = 27 + 27 - 135 - 2 = -83 \)
• Для x = -5: \( f(-5) = (-5)^3 + 3*(-5)^2 - 45*(-5) - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 73 \)

Итак, наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке [0; 2] равно -2, а наименьшее значение равно -83.