.
Привет! Давай разберёмся с задачей.
В задаче нам даны несколько векторов и отношения длин отрезков. Нам нужно выразить вектор \(\overrightarrow{AE}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).
- Вектор \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}\)
- \(D \in AC\), \(AD : DC = 1 : 3\) (то есть \(AD = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}\overrightarrow{b}\))
- \(E \in BD\), \(BE : ED = 2 : 3\)
Для нахождения вектора \(\overrightarrow{AE}\) поступим следующим образом:
- Вектор \(\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{b}\).
- Вектор \(\overrightarrow{BD}\): \(B\) имеет координаты \((1, 0)\), \(D\) - \((\frac{1}{4}, 1)\). Соответственно, вектор \(\overrightarrow{BD} = \left( \frac{1}{4} - 1, 1 - 0 \right) = \left(-\frac{3}{4}, 1 \right) = -\frac{3}{4}\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\).
Теперь найдём \(E\) посередине от \(B\) до \(D\), так как \(BE = 2k\), \(ED = 3k\): \(k = \frac{BD}{5} = \left(-\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\right) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{20}\overrightarrow{i} + \frac{1}{5}\overrightarrow{j} \)
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BD} \] \[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{2}{5} \left( - \frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \] \[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{2}{5} \left( -\frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \]
Объединяя вместе:
\[ \overrightarrow{AE} = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \right) \overrightarrow{b} - \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{AE} = \frac{20 + 8}{20} \overrightarrow{b} - \frac{6}{20} \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{AE} = \frac{7}{5} \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} \]
Выбираем один из вариантов:
\(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\) (неверно) \(\overrightarrow{AE} = 4\overrightarrow{a} (неверно) \(\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) (верно!)
Ответ: c. 2.
Выбирай "c" как правильный ответ!
