Найдите промежутки монотонности функции y=x³-9x²+15x и укажите точки экстремума

Для нахождения промежутков монотонности функции y=x³-9x²+15x нужно выяснить, как меняется её производная. Сначала найдем производную данной функции.

y=x³-9x²+15x

y' = 3x² - 18x + 15

Теперь найдем точки экстремума, где производная равна нулю:

3x² - 18x + 15 = 0

x² - 6x + 5 = 0

(x - 5)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x₁ = 1 и x₂ = 5.

Далее определим промежутки монотонности функции. Для этого анализируем знак производной на этих промежутках.

1. При x < 1: возьмем произвольное значение меньше 1, например, x = 0. Подставляем в производную:

3(0)² - 18(0) + 15 = 15

Таким образом, на промежутке x < 1 производная положительна, что значит функция возрастает.

2. При 1 < x < 5: возьмем произвольное значение между 1 и 5, например, x = 3. Подставляем в производную:

3(3)² - 18(3) + 15 = -12

На этом промежутке производная отрицательна, функция убывает.

3. При x > 5: возьмем произвольное значение больше 5, например, x = 6. Подставляем в производную:

3(6)² - 18(6) + 15 = 27

На промежутке x > 5 производная положительна, функция возрастает.

Таким образом, функция y=x³-9x²+15x возрастает на (-∞, 1) и (5, +∞), убывает на (1, 5). Точки экстремума: x₁ = 1, x₂ = 5.