?
Привет! Давай решим эту задачу вместе.
Дано: функция \( x^{x^2 \ln{x}} \).
Найдем её производную.
Обозначим функцию как \( y = x^{x^2 \ln{x}} \).
Возьмем логарифм от обеих частей уравнения: \(\ln{y} = \ln{(x^{x^2 \ln{x}})}\).
По свойству логарифмов \( \ln{(a^b)} = b \ln{a} \): \(\ln{y} = x^2 \ln{x} \cdot \ln{x}\).
То есть, \(\ln{y} = x^2 (\ln{x})^2\).
Найдем производную от обеих частей уравнения по \(x\). Не забываем про правило цепочки (производная от ln(y) равна 1/y умножить на производную y):
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2x (\ln{x})^2 + x^2 \cdot 2 \cdot \ln{x} \cdot \frac{1}{x}\).
Упростим правую часть:
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2x (\ln{x})^2 + 2x \ln{x}\).
Умножим обе части на \( y \): \(\frac{dy}{dx} = y \cdot (2x (\ln{x})^2 + 2x \ln{x})\).
Вспоминаем, что \( y = x^{x^2 \ln{x}} \): \( \frac{dy}{dx} = x^{x^2 \ln{x}} \cdot (2x (\ln{x})^2 + 2x \ln{x}) \).
Таким образом, производная функции \( x^{x^2 \ln{x}} \) равна \( x^{x^2 \ln{x}} \cdot (2x (\ln{x})^2 + 2x \ln{x}) \).
