Найти производную функции y=5+x\x-3

Для нахождения производной функции \(y=5+\frac{x}{x-3}\) нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции, так как у нас есть дробное выражение.

Давайте найдем производную этой функции по \(x\) шаг за шагом. Первым делом перепишем функцию в более удобной форме:

\[y = 5 + \frac{x}{x-3} = 5 + x \cdot (x-3)^{-1}\]

Теперь приступим к дифференцированию. Применим правило дифференцирования произведения функций \(u \cdot v'\) для функции \(u = x\) и \(v = (x-3)^{-1}\):

\[\frac{d}{dx} \left( x \cdot (x-3)^{-1} \right) = x \cdot \left( \frac{d}{dx} (x-3)^{-1} \right) + (x-3)^{-1} \cdot \frac{d}{dx}(x)\]

Теперь найдем производные компонентов:

\[\frac{d}{dx}(x) = 1\]

\[\frac{d}{dx}(x-3)^{-1} = -(x-3)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x-3)^2}\]

Подставим найденные производные обратно в наше уравнение:

\[y' = 1 \cdot (x-3)^{-1} + (x-3)^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-3)^2}\]

Таким образом, производная функции \(y=5+\frac{x}{x-3}\) равна \(y' = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-3)^2}\).