Часть Б. Приведите подробное решение 1. Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = (4х - 3) в точке хо = 1. 2. Исследовать функцию f (x) = (х* -12х + 20)° с помощью производной. 3. Катя и Маша, работая одновременно, выполнят заказ за 8° часа. Если бы половину заказа выполнила Катя, а вторую половину Маша, то они справились бы с заказом за 18 часов. За какое время справились бы с заказом Катя и Маша, работая по-отдельности? 4. Маша изготавливает 4 табуретки за 2 часа, Даша - 6 табуреток за 2 часа, Катя - 8 табуреток за 2 часа. В мастерскую поступил заказ на выпуск 81 табуретки. Сколько табуреток должна изготовить каждая работница при оптимальном распределении работы? 5. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2-19 см лежат на сфере радиуса 6 см. Найти расстояние от плоскости треугольника (т.е. от середины гипотенузы) до центра сферы. 6. Высота конуса составляет 2\3 см. Угол между высотой и образующей равен 60° .Найти
Решим каждое из заданий по порядку:
Для нахождения уравнения касательной к графику функции \(f(x) = 4x - 3\) в точке \(x_0 = 1\) нужно найти производную функции \(f(x)\) и подставить значение \(x = 1\). \[ f'(x) = 4, \] Таким образом, значение производной в точке \(x = 1\) равно 4. Уравнение касательной имеет вид: \[ y - f(1) = f'(1)(x-1) \] \[ y - (4\cdot1 - 3) = 4(x-1) \] \[ y - 1 = 4x - 4 \] \[ y = 4x - 3. \]
Для исследования функции \(f(x) = x^2 - 12x + 20\) с помощью производной найдем производные первого и второго порядков: \[ f'(x) = 2x - 12, \] \[ f''(x) = 2. \] Точки экстремума находятся при \(f'(x) = 0\): \[ 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6. \] Также найдем точку перегиба, приравняв \(f''(x)\) к нулю, но в данном случае она отсутствует. Таким образом, функция \(f(x)\) имеет локальный минимум в точке \(x = 6\).
Обозначим время работы Кати как \(x\) часов и Маши как \(y\) часов. Из условия имеем систему уравнений: \[ x + y = 8, \] \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 18. \] Решив данную систему уравнений, найдем, что \(x = 12\) и \(y = 8\). Следовательно, Катя справится с заказом за \(12\) часов, а Маша за \(8\) часов. Если они будут работать по-отдельности, то общее время выполнения заказа будет равно \(12 + 8 = 20\) часов.
Пусть Катя изготавливает \(k\) табуреток. Тогда Маше остается изготовить \(81 - k\) табуреток. По условию задачи: \[ \frac{k}{4} + \frac{81-k}{6} + \frac{81-k}{8} = 18. \] Решив данное уравнение, найдем, что Кате нужно изготовить 27 табуреток, Маше - 36 табуреток, а Даше - 18 табуреток.
Пусть вершины треугольника \(ABC\) лежат на сфере радиуса \(6\) см. Так как треугольник прямоугольный, то проекция точки пересечения гипотенузы на центр сферы является центром сферы. Тогда точка пересечения гипотенузы - середина гипотенузы. Расстояние от середины гипотенузы до центра сферы равно радиусу, то есть \(6\) см.
По условию у нас конус с высотой \(h = \frac{2}{\sqrt{3}}\) см и углом между высотой и образующей \(60^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса. С помощью тригонометрии можно найти радиус конуса и образующую: \[ r = h \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \text{ см}, \] \[ l = r \cdot \sqrt{3} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \text{ см}. \] Таким образом, расстояние от вершины конуса до плоскости \(ABC\) равно \(l = 2\) см.
