Несколько школьников посещают кружок по математике. Четверо из участников кружка необщи- тельны это значит, что каждый из них дружит не бо- лее чем с тремя участниками кружка. Все…
Несколько школьников посещают кружок по математике. Четверо из участников кружка необщи- тельны это значит, что каждый из них дружит не бо- лее чем с тремя участниками кружка. Все остальные участники общительные, т.е. каждый из них дру- жит по крайней мере с семью участниками кружка. какое наименьшее число школьников может быть в кружке? докажите что в ответе не может быть 8
Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим количество необщительных участников как \(x\), а количество общительных участников как \(y\).
У нас есть два условия:
- Четверо участников необщительны и каждый дружит не более чем с тремя другими. Таким образом, количество дружеских связей между ними равно \(3x\), а общее количество дружеских связей между необщительными и общительными участниками равно \(3x + 7y\).
- Остальные участники общительны, каждый из них дружит по крайней мере с семью другими. Это означает, что общее количество дружеских связей между общительными участниками равно \(7y + 7(y-4)\).
Теперь соединим оба условия:
- \(3x + 7y = 3x + 7(y-4)\)
- Упростив уравнение, получим: \(7y = 28\), откуда \(y = 4\).
- Подставив \(y = 4\) обратно в уравнение, мы найдем, что \(x = 1\).
Таким образом, в кружке должно быть 5 участников. Докажем, что в ответе не может быть 8: Если бы среди участников было 8 человек, то количество дружеских связей между ними должно быть 28. Но, так как каждый необщителен и дружит не более чем с тремя, он может иметь максимум 3 связи. Таким образом, наименьшее число школьников, не совместимое с условиями задачи, равно 8.
