a). исследовать функцию на монотонность и экстремумы при помощи производной f(x)=x^3+3x^2+1. b). два тела начинают двигаться из одной точки со скоростью v1=6t-2м/с и v2=t^3м/с.…

a) Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нужно найти производную функции f(x)=x^3+3x^2+1. Для этой функции производная будет f'(x)=3x^2+6x.

1. Для анализа монотонности найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3x^2+6x=0. Решив это уравнение, найдем x=-2 и x=0. Теперь, используя тестовые точки, можем понять изменение функции на интервалах (-бесконечность, -2), (-2, 0), (0, +бесконечность).
2. Для определения экстремумов найдем значения функции в найденных точках экстремума и на концах интервалов, а также анализируя знаки производной.

b) Для вычисления расстояния между телами через 4 секунды, найдем уравнения пути каждого тела. Пусть s1(t) и s2(t) - функции пути для тел 1 и 2 соответственно.

1. Найдем s1(t) и s2(t) как интегралы скоростей v1 и v2 соответственно, при этом применим граничные условия для начальной точки.
2. Затем, найдем значения пути для t=4 секунды - s1(4) и s2(4). Расстояние между ними будет |s2(4) - s1(4)|.

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями f(x)=x^2-4 и y=0, найдем точки пересечения этих линий, которые будут являться границами фигуры.

1. Найдем точки пересечения: x^2-4=0, откуда x=2 и x=-2.
2. Затем вычислим интеграл от функции f(x) между x=-2 и x=2, что даст нам площадь фигуры.

г) Для определения объема сбитого бензина, воспользуемся формулой объема цистерны - V=1/3πr^2h, где r - радиус основания, h - высота цистерны.

1. Найдем высоту цистерны через диагональ, используя теорему Пифагора: h^2=6^2-10^2. Отсюда h=8.
2. Вычислим объем цистерны.
3. Определим объем сбитого бензина, который составляет 1% от общей вместимости, учитывая даты начала и завершения действий.