В треугольнике ABC известны длины двух сторон AB = π, BC = cos 30◦, а длина стороны AC является целым числом. Найдите AC. Выберите верное утверждение. 1) Единственное возможное…

В треугольнике ABC известны длины двух сторон AB = π, BC = cos 30◦, а длина стороны AC является целым числом. Найдите AC. Выберите верное утверждение. 1) Единственное возможное значение длины стороны AC равно 3. 2) Единственное возможное значение длины стороны AC равно 4. 3) Длина стороны AC может быть равна 3 или 4. Посмотреть ответ Задание 4 Длина дорожки легкоатлетического стадиона равна 400 м. Из одной точки одновременно в разных направлениях с постоянной скоростью выбежали два бегуна. Один бегун имеет скорость 5 км/ч, второй – 7 км/ч. Сколько раз бегуны встретятся за время получасовой тренировки? (Старт за встречу не считаем.) Посмотреть ответ Задание 5 Решите уравнение $\frac{\left|x-1\right|}{x-1}+\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|x+1\right|}{x+1}+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=a$ при всех значениях параметра $a$. В ответ запишите сумму целых значений $a$, при которых уравнение имеет ровно одно решение. Посмотреть ответ Задание 6 Решите в целых числах уравнение $6x^2-3xy+7y-23x+26=0$. В ответ запишите сумму произведений всех найденных значений $(x;y)$. (Например, найденные решения – это две пары (1; 1) и (2; 3), тогда в ответ следует записать число 7, потому что $1·1+2·3=7$.) Посмотреть ответ Задание 7 В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4, AC = 2, BH− высота. Вписанная в треугольник ABC окружность второй раз пересекает высоту BH в точке K. Найдите BK : KH. Посмотреть ответ Задание 8 Точки L, E, F, T – последовательные вершины параллелограмма. На отрезке LT отмечена точка N такая, что LN : NT = 3 : 2. На отрезке LF отмечена точка O такая, что LO : OF = 2 : 3. Прямая NO пересекает отрезок EF в точке G. Найдите площадь четырехугольника LEGO, если площадь параллелограмма LEF T равна 100. Посмотреть ответ Примеры заданий 2-го тура (11 класс) Задание 1 Найдите последнюю цифру наибольшего по модулю решения уравнения $\left(x-6\cdot2019^{2020}\right)\left(x+8\cdot2019^{2020}\right)+5x-2\cdot2019^{2020}+6=0$ Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 2 Доктор Ай вырывает пациенту зуб за 10 минут, а доктор Ой делает это за 6 минут. Доктор Ай накладывает пациенту гипс за 13 минут, а доктор Ой делает это также за 6 минут. Доктор Ай заполняет документы для страховой компании за 14 минут, а доктор Ой делает это за 7 минут. Сколько времени потратят на пациента доктора Ай и Ой, работая совместно, если требуется вырвать зуб, наложить гипс и заполнить документы? Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 3 Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором неравенство $\sqrt{\frac{2x+a}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{2x+a}}\le1$ не выполняется ровно для 2222 целых значений $x$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 4 В основании прямой призмы GUSG1U1S1 лежит треугольник GUS со сторонами UG = US = 4, GS = 3, боковая сторона GG1 = 5. Плоскость π проходит через точки U и S1 и пересекает биссектрису SK треугольника GUS в точке M такой, что SM : MK = 2 : 1. Найдите периметр сечения призмы плоскостью π. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 5 При каком наименьшем целом значении параметра a система уравнений имеет решение, удовлетворяющее условию $|\sqrt{x}+y|>19$? В ответ запишите значение $y$, соответствующее найденному значению $a$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 6 На стороне BC прямоугольника ABCD со сторонами AB = 3, AD = 5 взяты точки K и N такие, что BK = 1, NC = 2. Вне прямоугольника ABCD построен прямоугольник KLMN со стороной KL = 1. Через точку D проходит прямая $l$, которая пересекает прямоугольник KLMN и делит его периметр в отношении 1 : 2. Найдите сумму тангенсов всех возможных углов между прямыми AD и $l$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 7 В треугольнике ABC с площадью 100 на сторонах AB, BC и AC взяты точки K, L и M такие, что AK : KB = 1 : 5, BL : LC = 1 : 1 (точка L – середина стороны BC) и AM : MC = 2 : 1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке F, BM и CK – в точке G, AL и CK – в точке E. Найдите площадь треугольника EFG. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 8 В классе на доске было записано некоторое четырехзначное число. Два ученика зашли в класс и подумали, что это пример на умножение двух чисел. Один из них умножал двузначные числа, другой – цифру и трехзначное число. (Например, было написано 2345, один умножил 23 на 45, другой – 2 на 345 или 234 на 5.) У ребят получились числа 507 и 1173. Какое число было исходно записано на доске? Если подходящих чисел несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов. Если такого числа не существует, в ответ запишите 0. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Примеры заданий 2-го тура (10 класс) Задание 1 Найдите последнюю цифру отрицательного решения уравнения $(x−6·2019^{2020})(x+8·2019^{2020})+5x−2·2019^{2020}+6=0$ Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 2 Доктор Ай вырывает пациенту зуб за 10 минут, а доктор Ой делает это за 6 минут. Доктор Ай накладывает пациенту гипс за 13 минут, а доктор Ой делает это также за 6 минут. Доктор Ай заполняет документы для страховой компании за 14 минут, а доктор Ой делает это за 7 минут. Сколько времени потратят на пациента доктора Ай и Ой, работая совместно, если требуется вырвать зуб, наложить гипс и заполнить документы? Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 3 Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором неравенство $\sqrt{\frac{2x+a}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{2x+a}}\le1$ не выполняется ровно для 3000 целых значений $x$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 4 В основании прямой призмы GUSG1U1S1 лежит треугольник GUS со сторонами UG = US = 4, GS = 3, боковая сторона GG1 = 5. Плоскость $\pi$ проходит через точки U и S1 и пересекает биссектрису SK треугольника GUS в точке M такой, что SM : MK = 2 : 1. Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\pi$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 5 При каком наименьшем целом значении параметра $a$ система уравнений имеет решение, удовлетворяющее условию $|\sqrt{x}+y|>19$? В ответ запишите значение $x$, соответствующее найденному значению $a$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 6 На стороне BC прямоугольника ABCD со сторонами AB = 3, AD = 5 взяты точки K и N такие, что BK = 1, NC = 2. Вне прямоугольника ABCD построен прямоугольник KLMN со стороной KL = 1. Через точку D проходит прямая $l$, которая пересекает прямоугольник KLMN и делит его периметр в отношении 1 : 2. Найдите тангенс наибольшего возможного угла между прямыми AD и $l$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 7 В треугольнике ABC с площадью 100 на сторонах AB, BC и AC взяты точки K, L и M такие, что AK : KB = 1 : 5, BL : LC = 1 : 1 (точка L – середина стороны BC) и AM : MC = 2 : 1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке F, BM и CK – в точке G, AL и CK – в точке E. Найдите площадь треугольника EFG. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 8 В классе на доске было записано некоторое четырехзначное число. Два ученика зашли в класс и подумали, что это пример на умножение двух чисел. Один из них умножал двузначные числа, другой – цифру и трехзначное число. (Например, было написано 2345, один умножил 23 на 45, другой – 2 на 345 или 234 на 5.) У ребят получились числа 1029 и 1926. Какое число было исходно записано на доске? Если подходящих чисел несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов. Если такого числа не существует, в ответ запишите 0. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Примеры заданий 2-го тура (9 класс) Задание 1 Найдите последнюю цифру положительного решения уравнения $(x−6·2019^{2020})(x+8·2019^{2020})+5x−2·2019^{2020}+6=0$ Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 2 Доктор Ай вырывает пациенту зуб за 10 минут, а доктор Ой делает это за 6 минут. Доктор Ай накладывает пациенту гипс за 13 минут, а доктор Ой делает это также за 6 минут. Доктор Ай заполняет документы для страховой компании за 14 минут, а доктор Ой делает это за 7 минут. Сколько времени потратят на пациента доктора Ай и Ой, работая совместно, если требуется вырвать зуб, наложить гипс и заполнить документы? Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 3 Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором неравенство $\sqrt{\frac{2x+a}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{2x+a}}\le1$ не выполняется ровно для 2468 целых значений $x$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 4 В прямоугольном треугольнике GUS с прямым углом U и сторонами UG = 3 и US = 4 проведена биссектриса GE, а на стороне GU взята точка V такая, что UE = UV . Биссектриса угла S треугольника GUS пересекает прямую EV в точке T. Найдите периметр треугольника GET. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 5 При каком наименьшем целом значении параметра $a$ система уравнений имеет решение, удовлетворяющее условию $|\sqrt{x}+y|>19$? В ответ запишите найденное значение $a$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 6 На стороне BC прямоугольника ABCD со сторонами AB = 3, AD = 5 взяты точки K и N такие, что BK = 1, NC = 2. Вне прямоугольника ABCD построен прямоугольник KLMN со стороной KL = 1. Через точку D проходит прямая $l$, которая пересекает прямоугольник KLMN и делит его периметр в отношении 1 : 2. Найдите тангенс наименьшего возможного угла между прямыми AD и $l$. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 7 В треугольнике ABC с площадью 100 на сторонах AB, BC и AC взяты точки K, L и M такие, что AK : KB = 1 : 5, BL : LC = 1 : 1 (точка L – середина стороны BC) и AM : MC = 2 : 1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке F, BM и CK – в точке G, AL и CK – в точке E. Найдите площадь треугольника EFG. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Задание 8 В классе на доске было записано некоторое четырехзначное число. Два ученика зашли в класс и подумали, что это пример на умножение двух чисел. Один из них умножал двузначные числа, другой – цифру и трехзначное число. (Например, было написано 2345, один умножил 23 на 45, другой – 2 на 345 или 234 на 5.) У ребят получились числа 845 и 3078. Какое число было исходно записано на доске? Если подходящих чисел несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов. Если такого числа не существует, в ответ запишите 0. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто). Посмотреть ответ Будь в курсе первым — подпишись на рассылку! Введите email Подписаться Согласен с условиями обработки персональных данных Партнеры Х МЕЖДУНАРОДНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНКУРС GS GROUP ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ИЗ НЕСТОЛИЧНЫХ ГОРОДОВ «Я РЕШАЮ!» 11 сентября 2023 года — 27 января 2024 года ГЛАВНАЯО КОНКУРСЕПРИЗЫОРГАНИЗАТОРЫЭТАПЫПОБЕДИТЕЛИНОВОСТИКОНТАКТЫ 1991-2024 © GS Group. Все права защищены. Согласие на обработку персональных данных vk Победители III тура Задать вопро