Найти все первообразные функции f(x) = 4 cos x - 2 sin x

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = 4 \cos x - 2 \sin x \) нужно воспользоваться методом интегрирования по частям.

Выразим функцию в виде суммы двух функций: \( f(x) = 4 \cos x - 2 \sin x \).

Интегрируем по частям, применяя формулу: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Возьмем \[ u = 4 \cos x \] - для нахождения \( du \), \[ dv = dx \] - и интегрируем по частям.

Имеем \[ du = -4 \sin x \, dx \] \[ v = x \]

Подставим значения в формулу интегрирования по частям: \[ \int (4 \cos x) \, dx = 4x \cos x - \int (-4 \sin x) \, dx \]

Дальше интегрируем второй член: \[ \int (-4 \sin x) \, dx = 4x \cos x - 4 \int \sin x \, dx \]

Интегрируем последний член: \[ 4 \int \sin x \, dx = -4 \cos x \]

Подставляем результаты в первообразную: \[ 4x \cos x + 4 \cos x - C \]

Где \( C \) - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 4 \cos x - 2 \sin x \) равна \( F(x) = 4x \cos x + 4 \sin x + C \).