Докажите , что 1+2+4+8+.....+2^(n-1)=(2^n)-1

Доказательство этого утверждения можно провести методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базы (n=1): Когда n=1, левая часть равна 1. Подставим n=1 в правую часть: 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1. Таким образом, база математической индукции верна для n=1.

Шаг 2: Предположение индукции (n=k): Предположим, что утверждение справедливо для некоторого произвольного, но фиксированного значения k. То есть, сумма: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(k-1) равна (2^k) - 1.

Шаг 3: Индукционный переход (n=k+1): Докажем, что утверждение верно для n=k+1. Добавим к сумме на k шаге следующее слагаемое: 2^k. Получим: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(k-1) + 2^k.

По предположению индукции, сумма 1 + 2 + 4 + ... + 2^(k-1) равна (2^k - 1). Прибавляем к этой сумме 2^k: (2^k - 1) + 2^k = 2^(k+1) - 1.

Таким образом, мы показали, что если сумма равна (2^k) - 1, то при добавлении следующего слагаемого 2^k, новая сумма равна 2^(k+1) - 1.

Итак, мы доказали, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение справедливо для всех натуральных n.

Таким образом, доказано, что 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(n-1) равно (2^n) - 1.