Положительные x , y , z таковы, что 2x+3y+4z=xyz . Найдите минимальное значение выражения 3xy+6yz+4xz .

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом замены переменных.

Заменим переменные x, y, z на \( \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \) соответственно. Тогда уравнение 2x+3y+4z=xyz примет вид \( \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{4}{z} = 1 \) .

Далее у нас дано выражение 3xy+6yz+4xz, которое необходимо минимизировать. Подставим измененные переменные в это выражение:

\( 3xy + 6yz + 4xz = 3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + 6 \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} + 4 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{z} = 3 \cdot \frac{1}{xy} + 6 \cdot \frac{1}{yz} + 4 \cdot \frac{1}{xz} = 3 \cdot \frac{z}{xyz} + 6 \cdot \frac{x}{xyz} + 4 \cdot \frac{y}{xyz} = \frac{3z+6x+4y}{xyz} \).

Теперь используем уравнение изначальной замены переменных, чтобы выразить выражение через \( 2/x, 3/y, 4/z \):

\(3xy+6yz+4xz = \frac{3z+6x+4y}{xyz} = \frac{\frac{4}{z} + \frac{2}{x} + \frac{3}{y}}{1} = 1 \).

Таким образом, минимальное значение выражения равно 1.