Две типографии должны выпустить 1188 книг. Первая типография выпустит все книги за 4 дня, вторая — за 12 дней. За сколько дней две типографии выпустят все книги при совместной…

Для решения этой задачи удобно использовать метод обратной пропорциональности.

Обозначим количество книг, которые первая типография выпускает за 1 день, как \(x\), и количество книг, которые вторая типография выпускает за 1 день, как \(y\).

Тогда у нас есть следующая система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 1188 \\ \frac{1}{4}x + \frac{1}{12}y = 1 \end{cases}\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения \(x\) и \(y\), которые обозначают скорость работы каждой типографии. После этого можно найти время, за которое обе типографии выпустят все книги при совместной работе.

\[ x = \frac{4}{3}, \quad y = \frac{4}{3} \]

Это значит, что первая типография выпускает \( \frac{4}{3} \) книги в день, а вторая также выпускает \( \frac{4}{3} \) книги в день.

Таким образом, обе типографии в совместной работе выпускают \( \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \) книги в день.

Так как им нужно выпустить 1188 книг, то время, за которое они это сделают, равно: \[ \frac{1188}{\frac{8}{3}} = 445,5 \text{ дня} \]

Таким образом, две типографии выпустят все книги за 445,5 дня при совместной работе.