Из точки В окружности опущен перпендикуляр ВМ на её диаметр АС, АВ = 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АМ на 4 см меньше отрезка СМ.

Пусть радиус окружности равен R, тогда диаметр равен 2R.

Так как ВМ - высота, проведенная из вершины окружности, мы имеем прямоугольный треугольник ВМА. По теореме Пифагора:

\(АВ^2 = АМ^2 + МВ^2\)

\(4^2 = (2R-4)^2 + R^2\)

\(16 = 4R^2 - 16R + 16 + R^2\)

\(5R^2 - 16R +16 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(R = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4*5*16}}{2*5} = \frac{16 \pm \sqrt{256-320}}{10} = \frac{16 \pm \sqrt{-64}}{10}\)

\(R = \frac{16 \pm 8i}{10}\)

Таким образом, радиус окружности равен: \(R = \frac{8}{5}i\), \(R = \frac{24}{5}\).