x+ sin 2x lim x->0 xe* + In(1 - 3x)

Итак, для вычисления предела функции \( \frac{x + \sin(2x)}{xe^{x} + \ln(1 - 3x)} \) при \( x \to 0 \), мы можем применить правило Лопиталя, если исходный предел имеет вид 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Давайте найдем предел производных числителя и знаменателя по отдельности:

Числитель:

• \( \lim_{x \to 0} (x + \sin(2x)) = 0 + \sin(0) = 0 \)
• \( \lim_{x \to 0} (x + \sin(2x))' = 1 + 2\cos(2x) \)
• \( \lim_{x \to 0} (x + \sin(2x))' = 1 + 2\cos(0) = 1 + 2 = 3 \)

Знаменатель:

• \( \lim_{x \to 0} (xe^{x} + \ln(1 - 3x)) = 0 + \ln(1) = 0 \)
• \( \lim_{x \to 0} (xe^{x} + \ln(1 - 3x))' = e^{x} + \frac{-3}{1 - 3x} \)
• \( \lim_{x \to 0} (xe^{x} + \ln(1 - 3x))' = 1 + \frac{-3}{1} = -2 \)

Теперь применяем правило Лопиталя:

\( \lim_{x \to 0} \frac{x + \sin(2x)}{xe^{x} + \ln(1 - 3x)} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \)

Таким образом, итоговый ответ на ваш вопрос: \( -\frac{3}{2} \).