Реши

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Дано: Нам нужно найти произведение \(P(n)\) чётных чисел от 2 до \(2n\), и записать число нулей в конце результатного числа для \(n = 1000\).

Пример: Если \(n = 5\), то \(P(n) = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 3840\).

Для решения задачи, нам нужно определить количество нулей в конце произведения.

Нули появляются из множителей 10, которые в свою очередь получаются из множителей 2 и 5.

Так как в нашем случае произведение состоит только из четных чисел, количество двоек будет больше чем количество пятерок. Значит, для определения числа нулей нам нужно посчитать количество пятерок в разложении числа на множители.

Шаги решения:

1. Подсчитаем количество пятерок среди множителей: \[ P(1000) = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2 \cdot 1000) \]

2. Так как четные числа содержат в себе только одну 5 для каждого пятого числа, найдем сколько чисел дают дополнительную 5: \[ Количество пятерок = \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor \]

   Посчитаем: \[ \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor = 200 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor = 40 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor = 8 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor = 1 \]

3. Суммируем количество пятерок: \[ 200 + 40 + 8 + 1 = 249 \]

Итак, в конце произведения \(P(1000)\) будет 249 нулей.

Ответ: 249