Решить уравнение |2х-1|+|3х+4|=18
Чтобы решить уравнение \(|2x - 1| + |3x + 4| = 18\), необходимо рассмотреть случаи, когда выражения под абсолютными знаками становятся положительными или отрицательными. Мы найдем точки, в которых выражения под абсолютными значениями равны нулю.
- Для \(|2x - 1|\) равно нулю, когда \(2x - 1 = 0\), или \(x = \frac{1}{2}\).
- Для \(|3x + 4|\) равно нулю, когда \(3x + 4 = 0\), или \(x = -\frac{4}{3}\).
Таким образом, у нас есть три промежутка для анализа:
- \(x < -\frac{4}{3}\)
- \(-\frac{4}{3} \leq x < \frac{1}{2}\)
- \(x \geq \frac{1}{2}\)
Теперь решим уравнения на каждом интервале.
1. Интервал: \(x < -\frac{4}{3}\)
В этом интервале оба выражения под модулем отрицательные:
\[ |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1 \] \[ |3x + 4| = -(3x + 4) = -3x - 4 \]
Подставим в уравнение:
\[ -2x + 1 - 3x - 4 = 18 \] \[ -5x - 3 = 18 \] \[ -5x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{21}{5} \]
Проверим, находится ли \(x = -\frac{21}{5}\) в интервале \(x < -\frac{4}{3}\): \(-\frac{21}{5} = -4.2\), что меньше \(-\frac{4}{3} \approx -1.33\). Значит, это решение подходит.
2. Интервал: \(-\frac{4}{3} \leq x < \frac{1}{2}\)
В этом интервале \(|2x - 1|\) остается отрицательным, а \(|3x + 4|\) положительным:
\[ |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1 \] \[ |3x + 4| = 3x + 4 \]
Подставим в уравнение:
\[ -2x + 1 + 3x + 4 = 18 \] \[ x + 5 = 18 \] \[ x = 13 \]
Это значение не попадает в интервал \(-\frac{4}{3} \leq x < \frac{1}{2}\).
3. Интервал: \(x \geq \frac{1}{2}\)
В этом интервале оба выражения под модулем положительные:
\[ |2x - 1| = 2x - 1 \] \[ |3x + 4| = 3x + 4 \]
Подставим в уравнение:
\[ 2x - 1 + 3x + 4 = 18 \] \[ 5x + 3 = 18 \] \[ 5x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
Проверим, находится ли \(x = 3\) в интервале \(x \geq \frac{1}{2}\); это условие выполняется.
Ответ
Таким образом, уравнение \(|2x - 1| + |3x + 4| = 18\) имеет два решения: \[ x = -\frac{21}{5} \quad \text{и} \quad x = 3. \]
