Прибор для измерения плотности жидкости –ареометр –в простейшем случае представляет собой цилиндрическое тело, внутри нижней части которого закреплен груз, обеспечивающий…
Прибор для измерения плотности жидкости –ареометр –в простейшем случае представляет собой цилиндрическое тело, внутри нижней части которого закреплен груз, обеспечивающий устойчивое плавание ареометра в вертикальном положении, а на боковую поверхность нанесена шкала плотностей так, что при плавании ареометра в однородной жидкости он погружается точно до отметки, соответствующей ее плотности. В широкий и глубокий сосуд с водой поверх нее налит слой бензина толщиной h=10 см. Какую плотность покажет ареометр массой M=10 грамм, опущенный в этот сосуд? Как изменятся его показания, если толщину слоя бензина увеличить вдвое? Считайте, что диаметр ареометра намного меньше диаметра сосуда. 43Плотность воды 1,0 г/см3, бензина 0,75 г/см3, площадь поперечного сечения ареометра 1 см2.
Для решения задачи о показаниях ареометра в слое жидкости, в данном случае в бензине, необходимо использовать принцип Архимеда и рассмотреть равновесие ареометра в двух жидкостях: воде и бензине.
1. Положение ареометра в жидкости
Ареометр, погруженный в жидкость, будет находиться в равновесии, когда сила, действующая на него вверх (архимедова сила), равна силе тяжести, действующей на ареометр вниз.
Сначала определим силу тяжести ареометра:
\[ F_g = M \cdot g \]
где:
- \( M = 10 \) г = \( 0.01 \) кг (переведем в килограммы)
- \( g \approx 9.81 \) м/с² (ускорение свободного падения)
\[ F_g = 0.01 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 0.0981 \, \text{Н} \]
2. Определение архимедовой силы
Теперь найдем архимедову силу, которая будет действовать на ареометр. Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Если ареометр погружен в бензин, то архимедова сила будет рассчитываться на основании плотности бензина.
Площадь поперечного сечения ареометра \( S = 1 \, \text{см}^2 = 1 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \).
Объем, который ареометр вытеснит в бензине, можно выразить через высоту погружения \( h \):
\[ V = S \cdot h \]
Архимедова сила:
\[ F_a = \rho_{\text{бензин}} \cdot V \cdot g = \rho_{\text{бензин}} \cdot S \cdot h \cdot g \]
Где \(\rho_{\text{бензин}} = 0.75 \, \text{г/см}^3 = 750 \, \text{кг/м}^3\).
Подставив значения:
\[ F_a = 750 \, \text{кг/м}^3 \cdot 1 \times 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot h \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \]
На данный момент высота \( h = 0.1 \, \text{м} \):
\[ F_a = 750 \cdot 1 \times 10^{-4} \cdot 0.1 \cdot 9.81 = 0.73575 \, \text{Н} \]
3. Условия равновесия
Чтобы ареометр находился в равновесии, архимедова сила должна быть равна его весу:
\[ F_a = F_g \implies 0.73575 \, \text{Н} = 0.0981 \, \text{Н} \]
Примечание: В данном случае, поскольку вес ареометра меньше архимедовой силы, он погрузится в бензин. Как только ареометр начнет погружаться в воду, архимедова сила изменится.
4. Увеличение толщины слоя бензина
При увеличении толщины слоя бензина вдвое \( h = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м} \): Так же подставим новое значение в уравнение архимедовой силы:
\[ F_a = 750 \cdot 1 \times 10^{-4} \cdot 0.2 \cdot 9.81 = 1.4715 \, \text{Н} \]
Подведение итогов
- В первом случае с 10 см бензина ареометр, вероятно, покажет значение, соответствующее плотности бензина, т.е. \( 0.75 \, \text{г/см}^3 \).
- При увеличении толщины слоя бензина до 20 см ареометр продолжит показывать плотность бензина, так как он не будет полностью погружен в воду.
Таким образом, показания ареометра не изменятся, если ареометр будет находиться в бензине даже при увеличении его толщины.
