"Прямая y=2x+5 является касательной к графику функции y=x3-4x2+6x+5. Найдите абсциссу точки касания."
Привет! Давай разберем твоё задание по профильной математике.
Сначала нужно понять, что задача требует найти абсциссу точки касания прямой \( y = 2x + 5 \) и графика функции \( y = x^3 - 4x^2 + 6x + 5 \).
Когда прямая касается графика функции, это значит, что:
- Производная функции в течение этого касания равна угловому коэффициенту прямой.
- Значения функции и прямой в точке касания равны.
Мы знаем, что угловой коэффициент прямой \( k = 2 \). Поэтому можем записать систему уравнений из двух условий касания:
- \( f'(x) = k \) (где \( f'(x) \) - производная функции)
- \( f(x) = 2x + 5 \)
Теперь давай найдем производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 \]
Сравниваем её с \( k = 2 \): \[ 3x^2 - 8x + 6 = 2 \] Переносим 2 влево и упрощаем: \[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \]
Теперь решаем квадратное уравнение \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \). Чтобы найти корни, можем использовать формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 3 \), \( b = -8 \), \( c = 4 \). Вычисляем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3} \]
Теперь нужно проверить, какой из корней подходит под второе условие касания. Подставляем \( x = 2 \) в уравнение графика: \[ f(2) = 2^3 - 4(2^2) + 6(2) + 5 = 8 - 16 + 12 + 5 = 9 \] \[ 2 \cdot 2 + 5 = 9 \] Оба значения равны, значит, это правильный корень.
Теперь проверяем \( x = \frac{2}{3} \): Подставляя, видим, что это значение не даст равенство.
Поэтому, верный ответ - \( x = 2 \), что и указано в правильном ответе.
Теперь давай подытожим. Твой ответ содержал неверные вычисления, возможно, из-за пропуска производной или ошибок при решении уравнения. Убедись, что ты внимательно следишь за каждым шагом.
Как тебе объяснение? Поставь, пожалуйста, лайк или дизлайк!
